E.E.
Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos
Disciplina:
00784 – Matemática
Professor
Marcelo Reimberg Christe
2°
Ano do Ensino Médio 2020
Período:
Manhã
Turma:
2°
Ano D
Cronograma:
de 07/05/2020 a 29/05/2020
Elementos básicos para a construção de matrizes
Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:
N
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
|
O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os
pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:
N×N
= { (a,b) : a e b são números naturais }
|
Uma relação importante em N×N é:
Smn = { (i,j): 1 < i <
m, 1 < j < n }
|
Definição de matriz
Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par
ordenado (i,j) no conjunto Smn
associa um número real (ou complexo). Uma forma muito comum e prática para
representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo
m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra
A.
A11
|
A12
|
...
|
A1n
|
A21
|
a22
|
...
|
A2n
|
...
|
...
|
...
|
...
|
am1
|
am2
|
...
|
amn
|
Definições básicas sobre matrizes
Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas,
dizemos que a ordem da matriz é m×n.
Posição de um elemento: Na tabela
acima a posição de cada elemento aij=a(i,j)
é indicada pelo par ordenado (i,j).
Notação para a matriz: Indicamos uma
matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
Diagonal principal: A diagonal principal
da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
Matriz quadrada é a matriz que tem o
número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
A diagonal secundária de uma matriz quadrada de
ordem n é indicada pelos n elementos:
a1n, a2n-1, a3n-2,
a4n-3, a5n-4, ..., an-12, an1
|
Matriz diagonal
é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
Matriz real é aquela que tem
números reais como elementos.
Matriz complexa é aquela que tem
números complexos como elementos.
Matriz nula é aquela que possui
todos os elementos iguais a zero.
Matriz identidade, denotada por Id,
tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal
principal.
Matriz diagonal é aquela que tem
todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da
diagonal principal podem ser nulos. Exemplos de matrizes
Matriz 4x4 de números reais:
12
|
-6
|
7
|
18
|
-23
|
-24
|
0
|
0
|
0
|
0
|
5
|
0
|
0
|
0
|
0
|
9
|
Matriz
4x4 de números complexos:
12
|
-6+i
|
7
|
I
|
-i
|
-24
|
0
|
0
|
0
|
0
|
5+i
|
5-i
|
0
|
0
|
0
|
9
|
Matriz
nula com duas linhas e duas colunas:
0
|
0
|
0
|
0
|
Matriz nula com três linhas e duas
colunas:
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Matriz identidade com três linhas e três
colunas:
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
Matriz
diagonal com quatro linhas e quatro colunas:
23
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-56
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
100
|
Matrizes
iguais: Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais
se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:
A(i,j) = b(i,j)
|
para todo par ordenado
(i,j) em Smn.
Exercício:
Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto
é:
|
=
|
|
Soma
de matrizes e suas propriedades: A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e
B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:
cij = aij + bij
|
para
todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo:
A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.
|
+
|
|
=
|
|
Propriedades
da soma de matrizes
A1:
Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma
ordem m×n, vale a igualdade:
(A
+ B) + C = A + (B + C)
|
A2:
Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem
m×n, vale a igualdade:
A
+ B = B + A
|
A3:
Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com
qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:
0
+ A = A
|
A4:
Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz
-A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de
mesma ordem, isto é:
A
+ (-A) = 0
|
Multiplicação
de escalar por matriz e suas propriedades: Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma
matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra
matriz C=k.A, definida por:
c(i,j)
= k. a(i,j)
|
para
todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo:
A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:
-4
|
|
=
|
|
Propriedades
da multiplicação de escalar por matriz
E1:
Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do
escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:
1.A
= A
|
E2:
Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do
escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:
0.A
= 0
|
E3:
Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes
A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:
k
(A+B) = k A + k B
|
E4:
Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz
A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:
(p
+ q) A = p A + q A
|
Multiplicação
de matrizes: Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de
ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B,
definida por:
c(u,v)
= a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)
|
para
todo par (u,v) em Smr.
Para obter o elemento da 2a linha e 3a
coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:
multiplicar
os primeiros elementos da 2a linha e 3a coluna;
multiplicar
os segundos elementos da 2a linha e 3a coluna;
multiplicar
os terceiros elementos da 2a linha e 3a coluna;
multiplicar
os quartos elementos da 2a linha e 3a coluna;
somar
os quatro produtos obtidos anteriormente. Assim:
c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43
|
Podemos
visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha
em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em
azul na terceira matriz.
|
×
|
|
=
|
|
Observação:
Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira
for igual ao número de linhas da segunda.
Propriedades
da multiplicação de matrizes: Para todas as matrizes A, B e C que podem ser
multiplicadas, temos algumas propriedades:
M1:
Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é
diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha
e B em cor preta:
|
×
|
|
M2:
Distributividade da soma à direita
A
(B+C) = A B + A C
|
M3:
Distributividade da soma à esquerda
(A
+ B) C = A C + B C
|
M4:
Associatividade
A
(B C) = (A B) C
|
M5:
Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas
matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes
nulas, como é o caso do produto:
|
×
|
|
=
|
|
M6:
Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a
igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem
exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:
|
×
|
|
=
|
|
×
|
|
mas as matrizes A e B são diferentes.
Matrizes
com propriedades especiais: Uma matriz A é nilpotente de índice k
natural, se:
Ak = 0
|
Uma
matriz A é periódica de índice k natural, se:
Ak+1= A
|
Uma
matriz A é idempotente, se:
A2 = A
|
As
matrizes A e B são comutativas, se:
A
B = B A
|
As
matrizes A e B são anti-comutativas, se:
A
B = - B A
|
A
matriz identidade Id
multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto
fizer sentido.
Id A = A
|
A
matriz A será a inversa da matriz B, se:
A
B = Id e B A = Id
|
A
transposta de uma matriz e suas propriedades: Dada uma matriz A=[a(i,j)] de
ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz
At = [a(j,i)]
|
e
se observa aqui, que as linhas de A se transformam nas colunas de At.
Propriedades
das matrizes transpostas
T1:
A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.
(At)t = A
|
T2:
A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio
escalar multiplicado pela transposta da matriz.
(kA)t = k (At)
|
T3:
A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.
(A
+ B)t = At + Bt
|
T4:
A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das
matrizes na ordem trocada.
(A
B)t = Bt At
|
Matrizes
simétricas e anti-simétricas e suas propriedades: Uma matriz A é simétrica
se é uma matriz quadrada tal que:
At = A
|
Uma
matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:
At = -A
|
Propriedades
das matrizes simétricas e anti-simétricas
S1:
Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A
é simétrica.
S2:
Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A + At
é simétrica.
S3:
Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A - At
é anti-simétrica.
S4:
Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como
a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A = S
+ T, e neste caso:
S =(1/2)(A + At) e T =(1/2)(A - At)
|
E.E.
Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos
Disciplina:
00784 – Matemática
Professor
Marcelo Reimberg Christe
2°
Ano do Ensino Médio 2020
Período:
Manhã
Turma:
2°
Ano D
Cronograma:
de 07/05/2020 a 29/05/2020
CONTEÚDO: Matrizes: construção de matrizes a partir de
condição algébrica; identificação de elementos de matrizes por intermédio de
sua posição em linhas e colunas. (16 aulas)
Situação
de Aprendizagem 5 – Volume 1 – 2° Ano – Matrizes: diferentes significados
HABILIDADES:
Utilizar
elementos de matrizes para organizar e justificar a resolução de
situações–problema baseadas em contextos do cotidiano.
Relacionar
representações geométricas a comandos expressos na linguagem matemática.
Situação
de Aprendizagem 6 – Volume 1 – 2° Ano – Matriz de codificação: desenhando com matrizes
HABILIDADES:
Utilizar
a notação matricial para representar figuras planas.
Respeitar seqüências de comandos estabelecidos por
intermédio de matrizes.
PLANO DE AULA:Conteúdo para 16 aulas.
MATERIAL: Exercícios subjetivos e figuras sobre a matrizes.
OBSERVAÇÂO: É necessário a impressão ou cópia das páginas
seguintes.
Exercícios
Propostos:
1) Construa a matriz A = (aIJ)2x3
sabendo que aIJ = i2 – j2. Determine também a
sua matriz transposta At.
2) Construa a matriz A = (aIJ)3x2
sabendo que aIJ = i3 + j2. Determine também a
sua matriz transposta At.
3) Construa a matriz A = (aIJ)2x3
sabendo que aIJ = – 4i + 5j. Determine também a sua matriz
transposta At.
4) Construa a matriz B = (bIJ)3x3
sabendo que bIJ = 3i – 2j2 + 1. Determine também a sua
matriz transposta Bt.
5) Construa a matriz C = (cIJ)4x2
sabendo que cIJ = j2 – 2 se i = j e, cIJ = i2
+ 3 se i ¹
j. Determine também a sua matriz transposta Ct.
Boa noite turma. Eu sei que todos nós estamos passando por uma situação complicada em todos os sentidos. Mas mesmo assim, devemos ter fé na vida e em todas as dificuldades que ela nos proporciona neste momento. Muitos de vocês, já sei, tem dificuldades e limitações em relação à Matemática. Porém, estou tentando passar o mínimo e necessário para o curso de vocês tenha uma conclusão. Tentem fazer as atividades e comunique-se comigo se houver dificuldades e também, me ajudem a passar as atividades para os colegas que vocês sabem que não tem uma comunicação fácil com equipamentos de interação digital (celular próprio, local exclusivo de estudos, e outras situações que não ajudam nos estudos), devido às limitações ao possibilidade de acesso. Por isso peço que acessem a Secretaria Escolar Digital (SED) e usem os recursos possíveis à aqueles que tem este acesso. Abaixo estão 3 códigos de acesso gratuito ao Google Classroom. Porque 3, isto eu não sei. Usem o 1° e se não der certo, usem os outros 2 códigos. Mas tentem. Eu fiz o convite em cada um deles. O 1° tem de todos os professores. Os demais somente eu kkk.Bons estudos e protejam-se. Estejam com DEUS.
ResponderExcluirA seguir, os códigos do Google Classroom.
2° Ano D:
vfihyn2
zi5mqqc
4hnxuhr
Boa noite a todos e bom descanso.