Atividade Prof Marcelo - Matemática - REPOSTADA - Entrega até 14/06 (Parte 1)

E.E. Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos

Disciplina: 00784 – Matemática

Professor Marcelo Reimberg Christe

3° Ano do Ensino Médio 2020

Período: Manhã

Turmas: 3° Ano A, 3° Ano B e 3° Ano C

Cronograma: de 03/04/2020 a 12/04/2020 - REPOSTADA - Entrega até 14/06

CONTEÚDO: Geometria Analítica – Inequações de Retas Problemas Lineares

Situação de Aprendizagem 2 – Volume 1 – 3° Ano – Exercícios 7, 8 e 9.

Situação de Aprendizagem 3 – Volume 1 – 3° Ano – Exercícios 1, 2, 3, 4, 5 e Desafio.

HABILIDADES: Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. (T2–H22–GI).

PLANO DE AULA: Relacionar duas inequações do 1° grau com o gráfico e a área de intersecção das duas inequações. (Conteúdo para 10 aulas)

MATERIAL: Exercícios subjetivos e gráficos sobre a inequação do 1° grau, sobre elipse e hipérbole.

OBSERVAÇÂO: É necessário a impressão ou cópia das páginas seguintes.

Geometria Analítica – Inequações do 1° grau

As desigualdades 0,50x + 40 < 0,75x, – x + 1 > 0, x2 – 4 ≠ 0 são chamadas de inequações. Assim, como equação significa uma sentença matemática expressa por uma igualdade, a inequação é expressa por qualquer desigualdade. Os dois primeiros exemplos são inequações do 1° grau, pois o maior expoente da variável x é igual a 1.

O aparecimento de situações que envolvam o conhecimento de inequações não é corriqueiro em nosso quotidiano. Porém, em alguns casos, o domínio deste conteúdo matemático nos fornece ferramentas importantes para a solução de problemas práticos. Por exemplo, seja resolver o seguinte problema, já apresentado anteriormente:

Exercícios Resolvidos:

1) O aluguel de um carro em uma agência custa R$ 50,00 por dia, acrescido de R$ 0, 50 por quilômetro rodado. Em outra agência, o aluguel custa apenas R$ 0,75 por quilômetro rodado, sem pagamento de diária. Até qual expectativa de quilômetros rodados a segunda agência é mais vantajosa, para carros que devolvidos no mesmo dia? E para carros devolvidos com quatro diárias ?

Veja: supondo que o carro seja devolvido no mesmo dia, com pagamento de uma única diária, tendo rodado x quilômetros, deve-se ter: 0,75x < 50,00 + 0,50x. Logo, a solução do problema é dado por uma inequação do primeiro grau. Veja se você obtém a resposta correta: a segunda agência é mais vantajosa para quem roda menos de 200 quilômetros no dia.

2) Qual a inequação que retrata a situação apresentada na segunda questão levantada ? Qual a sua solução ? Antes de mostrarmos a técnica de resolução de inequações do primeiro grau, vamos observar algumas particularidades de desigualdades numéricas:

• Se a > b, então a + c > b + c, onde a, b e c são números reais quaisquer. O mesmo valeria para qualquer outra desigualdade, expressa com os outros sinais utilizados em desigualdades: >, <, e ≠. Estamos dizendo que, se x + 5 > 10, então x + 5 – 5 > 10 – 5. Faz sentido? Assim, x + 5 > 10 ⇒ x > 10 – 5 ⇒ x > 5.

• Se a > b, então a.c > b.c, desde que c seja um número positivo, sendo a e b números reais quaisquer. O mesmo valeria para qualquer outra desigualdade, expressa com os outros sinais utilizados em desigualdades: >, <, < e ≠. Ou seja, se tivermos 5x > 10, então 5x. > 10.. Ou ainda, x > 2. O que estamos tentando mostrar, você já conhecia: era o famoso “passamos o cinco, que está multiplicando x no primeiro membro, dividindo o 10, no segundo membro”. Isto continua valendo, tanto para equações quanto para inequações.

• Se a > b, então a.c < b.c, desde que c seja um número negativo, sendo a e b números reais quaisquer. Veja: 5 é maior que –3; porém 5 (–1) é menor que (–3).(–1). Em símbolos: 5 > 3 ⇒ 5.(–1) < (–3).(–1). Podemos estabelecer uma regra prática: sempre que multiplicarmos os termos de uma desigualdade, por um número negativo, ela deve ter seu sentido invertido. Assim, se tivermos:

–5x > 10, então –5x. < 10.. Como –5. = 1, temos que x < –2. O conjunto verdade desta inequação, supondo-a sendo resolvida no conjunto dos números reais, seria: V = {x ∈ ℜ⏐x = 2 e x ≠ – 2}

ZERO E EQUAÇÃO DO 1º GRAU: Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos:

f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = . Vejamos alguns exemplos:

a) Obtenção do zero da função f(x) = 2x – 5: ⇒ f(x) = 0 ⇒ 2x – 5 = 0 ⇒ x =

b) Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: ⇒ g(x) = 0 ⇒ 3x + 6 = 0 ⇒ x = – 2

Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = – 2x + 10 corta o eixo das abscissas:

c) O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: ⇒ h(x) = 0 ⇒ – 2x + 10 = 0 ⇒ x = 5

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO: Consideremos a função do 1º grau y = 3x – 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 y – 10 – 7 – 4 – 1 2 5 8

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x – 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

1) a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);

2) a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0).

Justificativa:

para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

SINAL: Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz x = . Há dois casos possíveis:

1º) a > 0 (a função é crescente) y > 0 ⇒ ax + b > 0 ⇒ x > y > 0 ⇒ ax + b < 0 ⇒ x < Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz:

2º) a < 0 (a função é decrescente) y > 0 ⇒ ax + b > 0 ⇒ x < . y > 0 ⇒ ax + b < 0 ⇒ x < . Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.

Observação sobre a notação:

y > mx + h: pontos do semiplano situado acima da reta y = mx + h.

y ≥ mx + h: pontos do semiplano situado acima da reta, mais os pontos da reta y = mx + h.

y < mx + h: pontos do semiplano situado abaixo da reta y = mx + h.

y ≤ mx + h: pontos do semiplano situado abaixo da reta, mais os pontos da reta y = mx + h.

Exercícios Resolvidos:

3) Represente uma inequação de cada caso graficamente, considerando a continuidade ou não da região solicitada.

a) 2x + 4 ≤ 0 ⇒ y = 0 2x + 4 ≤ 0 ⇒ 2x ≤ – 4 ⇒ x ≤ –2

b) x + 4 ≥ 0 ⇒ y = 0 x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 4

3) –2x + 7 > 0 ⇒ –2x + 7 > 0 –2x > –7 ⇒ x < ⇒ x < – 3,5

Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos:

a) traçar em um mesmo plano o gráfico de cada inequação;

b) determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos.

4) Dê a resolução gráfica do sistema:

Solução: Traçando as retas – x + y = 4 e 3x + 2y = 6.

Tabela – x + y = 4 x y (x, y) 0 4 (0, 4) – 4 0 (– 4, 0)

Tabela 3x+2y = 6 x Y (x, y) 0 3 (0, 3) 2 0 (2, 0)

5) Dê a resolução gráfica do sistema:

Solução: A primeira inequação, , deve ter uma reta pontilhada e crescente: x y (x, y) 0 3 (0, 3) – 4 0 (– 4, 0)

A segunda inequação, y ≤ – 2x – 1, deve ter uma reta sólida e decrescente: x y (x, y) 0 – 1 (0, – 1) 0 (, 0)

Este é o gráfico correto:

6) Resolva graficamente o sistema de inequações simultâneas .

Solução: A primeira inequação, 3x + 4y – 12 < 0, deve ter uma reta pontilhada e crescente: x y (x, y) 0 3 (0, 3) 4 0 (4, 0)

A segunda inequação, 1x – 1y + 1 > 0, deve ter uma reta sólida e decrescente: x y (x, y) 0 1 (0, 1) – 1 0 (– 1, 0)

Este é o gráfico correto:

E.E. Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos

Disciplina: 00784 – Matemática

Professor Marcelo Reimberg Christe

3° Ano do Ensino Médio 2020

Período: Manhã

Turmas: 3° Ano A, 3° Ano B e 3° Ano C

Cronograma: de 03/04/2020 a 12/04/2020

CONTEÚDO: Geometria Analítica – Inequações de Retas Problemas Lineares

Situação de Aprendizagem 2 – Volume 1 – 3° Ano – Exercícios 7, 8 e 9.

Situação de Aprendizagem 3 – Volume 1 – 3° Ano – Exercícios 1, 2, 3, 4, 5 e Desafio.

HABILIDADES: Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. (T2–H22–GI).

PLANO DE AULA: Relacionar duas inequações do 1° grau com o gráfico e a área de intersecção das duas inequações. (Conteúdo para 10 aulas)

MATERIAL: Exercícios subjetivos e gráficos sobre a inequação do 1° grau, sobre elipse e hipérbole.

OBSERVAÇÂO: É necessário a impressão ou cópia das páginas seguintes.

Exercícios Propostos:

1) Como observado anteriormente, a equação y = mx + h representa os pontos de uma reta inclinada em relação aos eixos coordenados. Uma reta divide o plano em dois semiplanos. Em um deles, o que se situa acima da reta, os pontos são tais que y > mx + h; no outro, abaixo da reta, temos y < mx + h. Se os semiplanos incluem os pontos da reta, temos y ≥ mx + h para os pontos acima da reta ou na reta, e y ≤ mx + h para os pontos abaixo dela ou na reta.

Partindo dessa idéia, associe cada uma das regiões coloridas A, B, C, D, E e F a uma inequação ou a um sistema de inequações do tipo y > mx + h, ou, então, y < mx + h, considerando–se a continuidade ou não da região solicitada.

2) Uma pessoa deve fazer uma dieta em que deve ingerir, no mínimo, 75 g de proteínas por dia, servindo–se apenas de certo alimento A.

a) Se cada grama de A fornece 0,15 g de proteína, quantos gramas de A deverão ser ingeridos por dia, no mínimo ?

b) Represente algebricamente a relação entre a quantidade x de A em gramas a ser ingerida e a quantidade y de proteínas correspondente.

c) Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares (x; y) para os quais a prescrição da dieta é atendida.
d) Represente no plano cartesiano a região em que a dieta estaria igualmente satisfeita, porém com alimentos mais ricos em proteínas do que o alimento A.

3) Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para plantar milho e alfafa. Chamando de x a área a ser plantada de milho, e y a área a ser plantada de alfafa, e sabendo-se que o fazendeiro pode optar por deixar uma parte das terras sem plantar nenhuma das culturas, responda às questões a seguir:

a) Represente a relação algébrica que deve existir entre os valores x e y.

b) Represente a região A do plano cartesiano que corresponde à relação entre x e y anteriormente referida.
c) Sabendo-se que devem ser plantados, no mínimo, 5 alqueires de milho, qual a região B do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfazem as condições formuladas ?
d) Sabendo-se que devem ser plantados, no mínimo, 5 alqueires de milho e, no mínimo, 3 alqueires de alfafa, qual a região C do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfazem as condições formuladas ?

4) Em uma fábrica que produz um só tipo de produto, o custo C da produção de x unidades é a soma de um custo fixo C0 com um custo variável C1, que é proporcional a x. Se o processo de produção for tal que cada unidade produzida a mais tenha sempre o mesmo custo, independentemente do valor de x, então C1 = kx, onde k representa o custo de cada unidade do produto. Em uma fábrica como a descrita acima, tem-se: C = 3000 + 150x (x é o número de artigos; C é o custo da produção em reais).

a) Esboce o gráfico de C em função de x.

b) Para qual valor de x o custo fixo se iguala ao custo variável ?

c) A partir de qual valor de x o custo fixo passa a representar menos de 10% do custo total da produção ?

5) Um pequeno fazendeiro dispõe de 8 alqueires para plantar milho e cana. Ele deve decidir quanto plantar de milho e quanto de cana, em alqueires, de modo que seu rendimento total seja o maior possível. Cada alqueire de milho plantado deve resultar em um rendimento líquido de R$ 20 mil e cada alqueire de cana deverá render R$ 15 mil. No entanto, cada alqueire de milho requer 20000 L de água para irrigação e cada alqueire de cana requer somente 10000 L de água, sendo que, no período correspondente, a quantidade de água disponível para tal fim é 120000 L. Considere x e y as quantidades de alqueires plantados de milho e cana, respectivamente.

a) Como se pode representar, em termos de x e y, o rendimento total R a ser recebido pelo fazendeiro, supondo que venda a totalidade de sua produção ?

b) Qual é a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de alqueires plantados não pode ser maior do que 8? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relação.
c) Qual é a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de água a ser utilizado não pode superar os 120000 litro (L) ? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relação.
d) Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamente as duas exigências expressas nos itens b e c (lembrando que devemos ter x ≥ 0, y ≥ 0).
e) Determine o conjunto dos pontos (x; y) do plano que correspondem ao rendimento R1 = 75 mil e os que correspondem ao rendimento R2 = 120 mil.

f) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a reta que o representa intercepta o eixo OY.

g) Determine o ponto da região do item d que corresponde ao rendimento total máximo.

3° Ano – Habilidades das Questões

1)Tema 2 – Espaço e forma – H22: Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. (GI)

2)Tema 2 – Espaço e forma – H22: Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. (GI)

3)Tema 2 – Espaço e forma – H22: Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. (GI)

4)Tema 2 – Espaço e forma – H22: Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. (GI)

5)Tema 2 – Espaço e forma – H22: Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano. (GI)