Atividade Prof Marcelo - Matemática - REPOSTADA - Entrega até 14/06 (Parte 2)

E.E. Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos

Disciplina: 00784 – Matemática

Professor Marcelo Reimberg Christe

3° Ano do Ensino Médio 2020

Período: Manhã

Turmas: 3° Ano A, 3° Ano B e 3° Ano C

Cronograma: de 13/04/2020 a 30/04/2020 - REPOSTADA - Entrega até 14/06

Geometria Analítica – Cônicas

1 – Elipse

Considerando, num plano α, dois pontos distintos, F1 e F2, e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano α tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

focos : os pontos F1 e F2 centro: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistância focal: c vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 eixo maior: │A1A2│ = 2a eixo menor: │B1B2│ = 2b distância focal: │F1F2│ = 2c

Relação fundamental

Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OF2B2, retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 = b2 + c2

Excentricidade: Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1.

Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(– c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

Nessas condições, a equação da elipse é:

2 – Hipérbole

Considerando, num plano α, dois pontos distintos, F1 e F2, e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2, chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano α tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.

Observação: Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos

Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

focos: os pontos F1 e F2 vértices: os pontos A1 e A2 centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de semieixo real: a semieixo imaginário: b semidistância focal: c distância focal: │F1F2│ = 2c eixo real: │A1A2│ = 2a (contem os focos) eixo imaginário: │B1B2│ = 2b (b > 0 e tal que a2 + b2 = c2 – relação fundamental)

Excentricidade: Chamamos de excentricidade o número real e tal que: . Como c > a, temos e > 1.

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1(– c, 0) F2( c, 0) Aplicando a definição de hipérbole: Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

Nessas condições, a equação da hipérbole é:

Hipérbole equilátera

Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:

a = b

Assíntotas da hipérbole

Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é .

Equação

Vamos considerar os seguintes casos:

a) eixo real horizontal e C(0, 0)

As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

b) eixo vertical e C(0, 0)

As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

3 – Parábola

Dados uma reta d e um ponto F (F ∉ d), de um plano α, chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano α equidistantes de F e d. Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano α e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações: 1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto: 2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. 3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco. 4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.

Elementos

Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

foco: o ponto F Diretriz: a reta d vértice: o ponto V parâmetro: p Então, temos que: o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e. Assim, sempre temos e ⊥ d. DF = p V é o ponto médio de

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

Como a reta d tem equação e na parábola temos: P(x, y); dPF = dPd (definição); Obtemos, então, a equação da parábola:

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é:

Como a reta d tem equação e na parábola temos: P(x, y); dPF = dPd (definição); Obtemos, então, a equação da parábola:

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

Como a reta d tem equação e na parábola temos: P(x, y); dPF = dPd (definição); Obtemos, então, a equação da parábola:

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical

Como a reta d tem equação e na parábola temos: P(x, y); dPF = dPd (definição); Obtemos, então, a equação da parábola:

Exercícios Resolvidos:

1) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita.

Associe a 2ª  coluna com a 1ª coluna.

A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia de cima para baixo, é: (A) I, IV, II, V e III (B) I, V, III, IV e II (C) II, III, V, I e IV (D) III, II, IV, I e V (E) IV, II, V, I e III

Solução: Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas características das equações, observe:

Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no denominador, nesse caso item (II)

Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² nesse caso o item (V)

Elipse: os números que multiplicam x² e y² são diferentes e temos uma soma de x² e y², item (I)

Hipérbole: temos uma subtração de x² e y², item (IV)

Parábola: temos só x² ou só y², item (III)

Alternativa letra A

2) A distância entre o centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 6y = 0 e o foco de coordenadas positivas da elipse de equação é:

O centro C da circunferência é: ⇒ C (– 4; 3)

Na elipse: a2 = 25 ⇒ a = 5 e b2 = 16 ⇒ a = 4

Logo: a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2 ⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3

O centro da elipse é C(0; 0). A elipse tem eixo maior sobre o eixo x, dessa forma o foco de coordenadas positivas é F(3; 0). A distância entre o centro da circunferência e o foco é:

⇒ ⇒

3) Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da parábola de equação y = x² – 25 e excentricidade .

Na parábola y = x2 – 25, com raízes x = – 5 e x = 5. Dessa forma, 2a = 10 ⇒ a = 5

Usando a excentricidade sabemos que: . Na elipse, c = 3

a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = b2 + 9 ⇒ b2 = 16 ⇒ b = 4. O centro da elipse é C(0; 0) e sua equação é:

⇒ ⇒

4) Encontre a equação da parábola que passa pelo ponto P(0; 10) e pelos focos da hipérbole de equação 9x² – 16y² = 144

5) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(2; 3) e é perpendicular à reta que passa pelo centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 4y + 11 = 0 e pelo foco de coordenadas positivas da hipérbole de equação  

3° Ano – Habilidades dos Exercícios Resolvidos

1)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

2)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

3)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

4)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

5)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

E.E. Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos

Disciplina: 00784 – Matemática

Professor Marcelo Reimberg Christe

3° Ano do Ensino Médio 2020

Período: Manhã

Turmas: 3° Ano A, 3° Ano B e 3° Ano C

Cronograma: de 13/04/2020 a 30/04/2020

CONTEÚDO: Geometria Analítica – Cônicas: elipse, hipérbole e parábola (15 aulas)

Situação de Aprendizagem 4 – Volume 1 – 3° Ano – Exercícios 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

HABILIDADES: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (T2–H23–GI)

PLANO DE AULA:Conteúdo para 15 aulas.

Reconhecer uma elipse e sua equação e seus coeficientes e aplicação em exercícios. (5 aulas)

Reconhecer uma hipérbole e sua equação e seus coeficientes e aplicação em exercícios. (5 aulas)

Construir graficamente uma elipse e ou uma hipérbole no plano cartesiano. (5 aulas)

MATERIAL: Exercícios subjetivos e gráficos sobre a inequação do 1 ° grau, sobre elipse e hipérbole.

OBSERVAÇÂO: É necessário a impressão ou cópia das páginas seguintes.

Exercícios Propostos:

6) Usando o fato de que a elipse é uma circunferência “achatada”, ou seja, é a curva obtida quando reduzimos (ou ampliamos) na mesma proporção todas as cordas perpendiculares a um diâmetro dado, mostre que a equação da elipse de centro na origem e com os semieixos a e b é .

7) Em uma elipse com centro na origem e semieixo maior a no eixo OX, os pontos (0; b) e (0; –b) distam do centro menos do que a. Os pontos do eixo OX que estão a uma distância a de (0; b) e (0; – b) têm coordenadas (c; 0) e (– c; 0). Eles são particularmente importantes, sendo chamados focos da elipse. O valor c é chamado distância focal da elipse. Por construção, a soma das distâncias dos pontos (0; b) e (0; – b) até os focos é igual a 2a. É possível mostrar que para todo ponto P (x; y) do plano, se , então, a soma das distâncias de P até os focos (c; 0) e (– c; 0) é igual a 2a. A razão é chamada excentricidade da elipse, sendo representada pela letra e.

a) Mostre que, entre a, b e c vale a relação a2 = b2 + c2. b) Mostre que, fixado o valor de a, quanto menor for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de 1 e a elipse se aproxima de um segmento de reta; quanto mais próximo de a for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de zero e a elipse se aproxima de uma circunferência.

8) Considere a elipse representada a seguir de centro na origem e semieixos a = 13 e b = 5.

Determine:

a) a equação da elipse;	d) o valor de k para que o ponto P (5; k), do primeiro quadrante, pertença à elipse;
b) a excentricidade da elipse;	e) a soma das distâncias de P aos focos da elipse.
c) os focos da elipse;

9) A equação 4x2 – 9y2 = 36 pode ser vista como uma hipérbole. Fatore o primeiro membro e obtenha X e Y tal que X.Y = 36. Em seguida, determine as assíntotas e faça uma representação gráfica da hipérbole, obtendo (2x – 3y).(2x + 3y) = 36, ou seja, X.Y = 36.

10) A equação de uma hipérbole representada no plano cartesiano, com centro na origem, é do tipo em que a é a abscissa do vértice da hipérbole, nas condições representadas na figura seguinte:  a) Sabendo isso, determine a equação da hipérbole que passa pelo ponto (3; 0) e tem como assíntotas as retas e . b) Faça a representação gráfica da hipérbole e de suas assíntotas.

11) Obtenha a equação da hipérbole com centro na origem, representada na figura, sabendo que ela passa pelo ponto (a; 0) e que tem como assíntotas as retas e .

12) Determine o foco e a diretriz das parábolas que podem ser representadas no plano cartesiano

por equações do tipo:

a) y = kx2

b) x = ky2

c) y = kx2 + h

3° Ano – Habilidades das Questões

6)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

7)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

8)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

9)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

10)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

11)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

12)Tema 2 – Espaço e forma – H23: Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)