E.E. Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos
Disciplina: 00784 – Matemática
Professor Marcelo Reimberg Christe
2° Ano do Ensino Médio 2020
Período: Manhã
Turma: 2° Ano D
Cronograma: de 16/06/2020 a 30/06/2020
CONTEÚDO: Sistemas Lineares – resolução de sistemas lineares em situação problema de ordem 2, 3 e 4; escalonamentos de matrizes – Regra de Gauss e Regra de Cramer.
Situação de Aprendizagem 7 – Volume 1 – 2° Ano – sistemas lineares em situação problema.
Situação de Aprendizagem 8 – Volume 1 – 2° Ano – resolução de sistemas lineares: Escalonamento X Cramer.
HABILIDADES:
analisar informações contidas em enunciados em língua materna, destacando elementos importantes para a compreensão do texto e para a formulação de equações matemática; utilizar a linguagem matemática para expressar as condições descritas em situação problema contextualizadas; resolver sistemas lineares, interpretando os resultados de acordo com o contexto fornecido pela situação problema. (T1–H14–GIII)
Utilizar a linguagem matemática para obtenção de equações que auxiliem na resolução de situações problema; reconhecer a maior eficiência de um método de resolução sobre outro, com base nas estratégias de raciocínio mobilizadas. (T1–H15–GIII)
PLANO DE AULA: resolução de situações problema. (Conteúdo para 12 aulas)
MATERIAL: Exercícios subjetivos sobre sistemas lineares.
OBSERVAÇÂO: É necessário a impressão ou cópia das páginas seguintes.
Introdução aos sistemas lineares
Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.
Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:
Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?
Montagem do sistema linear
Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.
Equação linear
É uma equação da forma
onde
x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (números reais ou complexos);
b1 é o termo independente (número real ou complexo).
Exemplos de equações lineares
4x + 3y – 2z = 0
2x – 3y + 0z – w = – 3
x1 – 2x2 + 5x3 = 1
4ix + 3y – 2z = 2 – 5i
Exemplos de equações não-lineares
3x + 3y.R[x] = – 4
x2 + y2 = 9
x + 2y – 3zw = 0
x2 + y2 = – 9
Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x > 0.
Solução de uma equação linear
Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear
Se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:
Exemplo: A sequência (5, 6, 7) é uma solução da equação 2x + 3y – 2z = 14 pois, tomando x = 5, y = 6 e z = 7 na equação dada, teremos:
Sistemas de equações lineares
Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:
onde
x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
a11, a12, ..., amn são os coeficientes;
b1, b2, ..., bm são os termos independentes.
Solução de um sistema de equações lineares
Uma sequência (r1, r2, ...,rn) é solução do sistema linear:
Se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.
Exemplo: O par ordenado (2, 0) é uma solução do sistema linear:
Pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x = 2 e y = 0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.
Consistência de Sistemas Lineares
O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:
Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.
(a) Se tem uma única solução, o sistema é determinado.
(b) Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.
Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.
Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções
Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3, – 2) como interseção.
Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).
Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.
Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.
Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:
Pois eles admitem a mesma solução x = 10 e y = 2.
Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1 ~ S2.
Operações elementares sobre sistemas lineares
Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.
Troca de posição de duas equações do sistema
Multiplicação de uma equação por um número não nulo
Adição de duas equações do sistema
Resolução de sistemas lineares por escalonamento (regra de Gauss)
Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.
Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.
Observação: Usamos Li + Lj ⇒ Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos k.Li ⇒ Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.
Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema (1, 8, 9).
Sistemas lineares homogêneos
Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.
Exemplo: O sistema
é determinado, pois possui a solução x = 0, y = 0 e z = 0.
Regra de Cramer
Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X). Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:
A este sistema podemos associar algumas matrizes:
Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A.
Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes.
Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1 < j < n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema.
Quando as posições j = 1, 2, 3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az. Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j = 1, ..., n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:
Se det(A) = 0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do sistema forem iguais a zero.
Um sistema impossível: Seja o sistema
A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo.
Como det(A) = 0, devemos verificar se todos os determinantes das sub–matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o determinante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:
Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 na última linha!)
A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo:
Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então o sistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y em função de z.
Um sistema com solução única: Seja o sistema
A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.
Como det(A) = 7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das três equações, temos:
Como det(Ax) = 65, det(Ay) = 1 e det(Az) = 14, a solução do sistema é dada por:
Exemplo 1) Resolvendo o sistema a seguir :
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:
Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:
Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por – 1, com a 3º equação:
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo. –2z = –6 z = 3
Substituindo z = 3 em (II): –7y – 3(3) = –2 –7y – 9 = –2 y = –1
Substituindo z = 3 e y = –1 em (I): x + 2(–1) + 3= 3 x = 2
Então, x = 2, y = –1 e z = 3
Exemplo 2) Resolvendo o sistema a seguir :
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por –2 com a 2º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por –3 com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:
Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por –1 com a 3º equação:
Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z = –2, o sistema é impossível.
II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)
Exemplo3)
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por –2 com a 2º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por –1 com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por –3 com a 3º equação:
O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):
GI= n – m
Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
Consideramos o sistema em sua forma escalonada:
Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições: GI = n – m = 4 – 3 = 1
Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor α, supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t = α, substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:
12z – 6α = 30 ⇒ 12z = 30 + 6α ⇒=
Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2a equação:
Conhecidos z, t e y, substituímos esses valores na 1º equação:
Assim, a solução do sistema é dada por S=, com IR.
Para cada valor que seja atribuído a α, encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.
E.E. Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos
Disciplina: 00784 – Matemática
Professor Marcelo Reimberg Christe
2° Ano do Ensino Médio 2020
Período: Manhã
Turma: 2° Ano D
Cronograma: de 16/06/2020 a 30/06/2020
1) Resolva o sistema a seguir pela regra de Cramer:
2) Resolva o sistema a seguir pela regra de Gauss:
Boa noite turma. Eu sei que todos nós estamos passando por uma situação complicada em todos os sentidos. Mas mesmo assim, devemos ter fé na vida e em todas as dificuldades que ela nos proporciona neste momento. Muitos de vocês, já sei, tem dificuldades e limitações em relação à Matemática. Porém, estou tentando passar o mínimo e necessário para o curso de vocês tenha uma conclusão. Tentem fazer as atividades e comunique-se comigo se houver dificuldades e também, me ajudem a passar as atividades para os colegas que vocês sabem que não tem uma comunicação fácil com equipamentos de interação digital (celular próprio, local exclusivo de estudos, e outras situações que não ajudam nos estudos), devido às limitações ao possibilidade de acesso. Por isso peço que acessem a Secretaria Escolar Digital (SED) e usem os recursos possíveis à aqueles que tem este acesso. Abaixo estão 3 códigos de acesso gratuito ao Google Classroom. Porque 3, isto eu não sei. Usem o 1° e se não der certo, usem os outros 2 códigos. Mas tentem. Eu fiz o convite em cada um deles. O 1° tem de todos os professores. Os demais somente eu kkk.Bons estudos e protejam-se. Estejam com DEUS.
ResponderExcluirA seguir, os códigos do Google Classroom.
2° Ano D
vfinyn2
zi5mqqc
4hnxuhr
Boa noite e bom descanso.