E.E. Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos
Disciplina: 00784 – Matemática
Professor Marcelo Reimberg Christe
3° Ano do Ensino Médio 2020
Período: Manhã
Turmas: 3° Ano A, 3° Ano B e 3° Ano C
Cronograma: de 02/06/2020 a 30/06/2020
CONTEÚDO: Polinômios – relações entre coeficientes e raízes de uma equação de 2° grau – revisão; extensão das relações entre coeficientes e raízes para equações de 3° e 4° graus e divisão de um polinômio por x – k; algoritmo para efetuar de maneira simples a divisão de um polinômio por x – k; redução do grau de uma equação com base no conhecimento de uma das raízes.
Situação de Aprendizagem 6 – Volume 1 – 3° Ano – Das fórmulas a análise qualitativa: relações entre coeficientes e raízes
Situação de Aprendizagem 7 – Equações e polinômios: divisão por x – k e redução do grau da equação
HABILIDADES:
Compreender o fato de que uma pergunta bem formulada traz em si os elementos constituintes de sua resposta; compreender o fato de que e possível conhecer qualidades das raízes de equação algébrica mesmo sem resolve–la, com base no conhecimento de seus coeficientes. (T1–H15–GIII)
Compreender as relações naturais entre o estudo dos polinômios e o estudo das equações algébricas; compreender a importância da articulação entre a técnica e o significado na solução de equações / problemas. (T1–H15–GIII)
PLANO DE AULA: rever e estender o estudo das relações entre coeficientes e raízes, já conhecido no caso das equações de 2° grau, para equações de grau superior a 2; explorar tal fato para resolver ou conhecer algumas das soluções de uma equação algébrica. Resolver problemas que envolvam a soma, subtração e multiplicação de polinômios. Resolver problemas que envolvam a divisão entre um polinômio e um binômio (x - k). Calcular a divisão de polinômios por meio da utilização de algoritmos. (Conteúdo para 22 aulas)
MATERIAL: Exercícios subjetivos sobre polinômios.
OBSERVAÇÂO: É necessário a impressão ou cópia das páginas seguintes.
POLINÔMIOS – TEORIA
Definição: Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.
Onde temos: an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes; n ∈ IN e; x ∈ C (números complexos) é a variável.
Grau de um polinômio: é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an ≠ 0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P) = n. Exemplos:
a) P(x) = 5 ou P(x) = 5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P) = 0.
b) P(x) = 3x + 5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P) = 1.
c) P(x) = 4x5 + 7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P) = 5.
Obs: Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.
Valor numérico: O valor numérico de um polinômio P(x) para x = a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:
Se P(x) = x3 + 2x2 + x – 4, o valor numérico de P(x), para x = 2, é:
P(x) = x3 + 2x2 + x – 4
P(2) = 23 + 2.22 + 2 – 4
P(2) = 14
Observação: Se P(a) = 0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).
Por exemplo, no polinômio P(x) = x2 – 3x + 2 temos P(1) = 0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.
Alguns exercícios resolvidos:
1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x) = x3 + 4x2 – ax + 1, calcular o valor de a.
Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(–3) = 0.
P(–3) = 0 ⇒ (–3)3 + 4(–3)2 – a.(–3) + 1 = 0 ⇒ 3a = –10 ⇒ a =
Resposta: a =
2º) Calcular m ∈ IR para que o polinômio P(x) = (m2 – 1)x3 + (m + 1)x2 –x + 4 seja:
Resolução:
a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então:
m2 – 1 ≠ 0 ⇒ m2≠1 ⇒ m ≠ 1
m + 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ – 1
Portanto, o polinômio é do 3º grau se m ≠ 1 e m ≠ – 1.
b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então:
m2 – 1 = 0 ⇒ m2 = 1 ⇒ m = ± 1
m +1 ≠0 ⇒ m ≠– 1
Portanto, o polinômio é do 2º grau se m = 1.
c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então:
m2 – 1 = 0 ⇒ m2 = 1 ⇒ m = ± 1
m + 1 = 0 ⇒ m = – 1
Portanto, o polinômio é do 1º grau se m = – 1.
3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se P(1)= P(2) = 0 e P(3) = 30, calcule o valor de P(–1).
Resolução: Temos o polinômio: P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).
Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:
P(1) = 0 ⇒ (1)3 + a.(1)2 + b.(1) + c = 0 ⇒ 1 + a + b + c= 0 ⇒ a + b + c = – 1
P(2) = 0 ⇒ (2)3 + a.(2)2 + b.(2) + c = 0 ⇒ 8 + 4a + 2b + c = 0 ⇒ 4a + 2b + c = – 8
P(3) = 30 ⇒ (3)3 + a.(3)2 + b.(3) + c = 30 ⇒ 27 + 9a + 3b + c = 30 ⇒ 9a + 3b + c = 3
Temos um sistema de três variáveis:
Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:
a = 9, b = – 34, c = 24
Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3 + 9x2 – 34x + 24.
O problema pede P(–1):
P(–1)= (–1)3 + 9.(–1)2 – 34.(–1) + 24 ⇒ P(–1) = –1 + 9 + 34 + 24
P(–1) = 66
Resposta: P(– 1) = 66
Polinômios iguais: Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x) ≡ B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
Exemplo: Calcular a, b e c, sabendo–se que x2 – 2x + 1 ≡ a(x2 + x + 1) + (bx + c).(x + 1).
Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:
x2 – 2x + 1 ≡ ax2 + ax + a + bx2 + bx + cx + c
1x2 – 2x + 1 ≡ (a + b)x2 + (a + b + c)x + (a + c)
Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
Substituindo a 1ª equação na 2ª:
1 + c = – 2 ⇒ c = – 3.
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:
a – 3 = 1 ⇒ a = 4.
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4 + b = 1 ⇒ b = – 3.
Resposta: a = 4, b = – 3 e c = – 3.
Observação: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.
Operações com Polinômios: As operações de adição, subtração e multiplicação de polinômios são estudadas no ensino fundamental, em expressões algébricas. Assim, vamos revisar esses tópicos e depois estudar a divisão de polinômios.
Adição: a soma de dois polinômios é dada pela soma algébrica dos coeficientes dos termos semelhantes dos dois polinômios;
Subtração: a diferença entre dois polinômios A(x) e B(x) é dada pela soma de A(x) com o oposto de B(x), ou seja, A(x) − B(x) = A(x) +(− B(x));
Multiplicação: o produto de dois polinômios é obtido pela aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição;
Multiplicação por uma constante: na multiplicação de polinômio por um número constante, multiplicamos cada termo do polinômio por esse número constante (distributiva).
Exemplos: Sejam os polinômios A(x) = 2x2 + x e B(x) = x3 − x2 + 1, assim:
A(x) + B(x) = 2x2 + x + x3 − x2 + 1 ⇒
A(x) + B(x) = x3 + x2 + x + 1
A(x) − B(x) = 2x2 + x − (x3 − x2 + 1) = 2x2 + x − x3 + x2 − 1 ⇒
A(x) − B(x) = − x3 + 3x2 + x − 1
A(x).B(x) = (2x2 + x).(x3 − x2 + 1) = 2x2.x3 − 2x2.x2 + 2x2.1 + x.x3 − x.x2 + x.1 ⇒
A(x).B(x) = 2x5 − 2x4 + 2x2 + x4 − x3 + x ⇒
A(x).B(x) = 2x5 − x4 − x3 + 2x2 + x
3.B(x) = 3.(x3 − x2 + 1) ⇒
3.B(x) = 3x3 − 3x2 + 3
4.A(x) − 2.B(x) = 4.(2x2 + x) − 2.(x3 − x2 + 1) = 8x2 + 4x − 2x3 + 2x2 − 2 ⇒
4.A(x) − 2.B(x) = − 2x3 + 10x2 + 4x − 2
Divisão de polinômios: Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x) = 0
Nessa divisão:
P(x) é o dividendo.
D(x) é o divisor.
Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.
Observação: Quando temos R(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).
Se D(x) é divisor de P(x) ⇔ R(x) = 0
Exemplo: Determinar o quociente de P(x) = x4 + x3 – 7x2 + 9x – 1 por D(x) = x2 + 3x – 2.
Resolução: Aplicando o método da chave, temos:
Verificamos que:
Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax + b: Vamos calcular o resto da divisão de P(x) = 4x2 – 2x + 3 por D(x) = 2x – 1.
Utilizando o método da chave temos:
Logo: R(x) = 3
A raiz do divisor é 2x – 1 = 0 ⇒ x = .
Agora calculamos P(x) para x = .
P() = 4.() – 2.() + 3
P() = 3
Observe que R(x) = 3 = P(). Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x = , isto é, a raiz do divisor.
Teorema do resto: O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual a P(). Note que é a raiz do divisor.
Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2 + 5x – 1 por x + 1.
Resolução: Achamos a raiz do divisor:
x + 1 = 0 ⇒ x = – 1
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(– 1):
P(– 1) = (– 1)2 + 5.( – 1) – 1 ⇒ P(– 1) = – 5 = R(x)
Resposta: R(x) = – 5.
Teorema de D’Alembert: Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax + b se P() = 0.
Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x) = 2x3 + 5x2 – px + 2 seja divisível por x – 2.
Resolução: Se P(x) é divisível por x – 2, então P(2) = 0.
P(2) = 0 ⇒ 2.8 + 5.4 – 2p + 2 = 0 ⇒ 16 + 20 – 2p + 2 = 0 ⇒ p = 19
Resposta: p = 19.
Divisão de um polinômio pelo produto (x – a).(x – b): Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x – a).(x – b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x – a) e por (x – b) são, respectivamente, r1 e r2. Temos:
a é a raiz do divisor x – a, portanto P(a) = r1 ⇒ (equação 1)
b é a raiz do divisor x – b, portanto P(b) = r2 ⇒ (equação 2)
E para o divisor (x – a).(x – b) temos P(x) = (x – a).(x – b).Q(x) + R(x) ⇒ (equação 3)
O resto da divisão de P(x) por (x – a).(x – b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x) = cx + d
Da equação 3 vem:
P(x) = (x – a).(x – b).Q(x) + cx + d
Fazendo:
x = a ⇒ P(a) = c(a) + d ⇒ (equação 4)
x = b ⇒ P(b) = c(b) + d ⇒ (equação 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Resolvendo o sistema obtemos: e , com a ≠ b
Logo: , com a ≠ b
Observações:
1ª) Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b), temos:
P(a) = r1 = 0
P(b) = r2 = 0
Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x – a).(x – b), pois:
= 0 + 0 = 0
2ª) Generalizando, temos:
Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x – a1), (x – a2),..., (x – an) então P(x) é divisível pelo produto (x – a1).(x – a2)...(x – an).
Exemplo: Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x – 1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x.(x – 1) ?
Resolução:
0 é a raiz do divisor x, portanto P(0) = 6 ⇒ (equação 1)
1 é a raiz do divisor x – 1, portanto P(1) = 8 ⇒ (equação 2)
E para o divisor x.(x – 1) temos P(x) = x.(x – 1).Q(x) + R(x) ⇒ (equação 3)
O resto da divisão de P(x) por x.(x – 1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x) = ax + b
Da equação 3 vem:
P(x) = x.(x – 1).Q(x) + ax + b
Fazendo:
x = 0 ⇒ P(0) = a.(0) + b ⇒ P(0) = b ⇒ (equação 4)
x = 1 ⇒ P(1) = a.(1) + b ⇒ P(1) = a + b ⇒ (equação 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Logo, b = 6 e a = 2.
Agora achamos o resto: R(x) = ax + b = 2x + 6
Resposta: R(x) = 2x + 6.
O dispositivo de Briot-Ruffini: Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax + b).
Exemplo 1: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por (x – 2).
Resolução:
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.
Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4.
Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:
1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.
2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.
3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.
Exemplo 2: Vamos dividir P(x) = 3x3 − 5x2 + x – 2 por D(x) = x – 2.
1°) Fazemos D(x) = 0, isto é, x – 2 = 0 e daí temos: x = 2
Ao lado da raiz do divisor D(x), dispomos ordenadamente, os coeficientes do dividendo P(x) abaixando o 1° coeficiente do dividendo:
2°) Multiplicamos o coeficiente abaixado pela raiz do divisor e somamos o resultado ao próximo coeficiente do dividendo, abaixando o resultado:
3°) Com o último resultado abaixado, repetimos os dois primeiros passos até que utilizemos todos os coeficientes do dividendo, observe:
Pelo esquema acima, temos Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4.
Decomposição de um polinômio em fatores: Vamos analisar dois casos:
1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x) = ax2 + bx + c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:
ax2 + bx + c = a.(x – r1).(x – r2)
Exemplos:
1) Fatorar o polinômio P(x) = x2 – 4.
Resolução: Fazendo x2 – 4 = 0, obtemos as raízes r1 = 2 e r2 = – 2.
Logo: x2 - 4 = (x – 2).(x + 2).
2) Fatorar o polinômio P(x) = x2 – 7x + 10.
Resolução: Fazendo x2 – 7x + 10 = 0, obtemos as raízes r1 = 5 e r2 = 2.
Logo: x2 – 7x + 10 = (x – 5).(x – 2).
2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.
Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3 – x2 – x.
Resolução:
2x3 – x2 – x = x.(2x2 – x – 1) ⇒ colocando x em evidência
Fazendo x.(2x2 – x – 1) = 0 obtemos: x = 0 ou 2x2 – x – 1 = 0.
Uma das raízes já encontramos (x = 0).
As outras duas saem da equação: 2x2 – x – 1 = 0 ⇒ r1 = 1 e r2 = .
Portanto, o polinômio 2x3 – x2 – x, na forma fatorada é:
2.x.(x – 1).(x + ).
Generalizando, se o polinômio P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:
anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 = an.(x – r1).(x – r2)...(x – rn)
Observações:
1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.
2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x – r1)2 e não por (x – r1)3.
Exercícios Resolvidos:
1) Dado o polinômio P(x) = 2x3 + x2 – 4x + 4, calcule:
2) Dado o polinômio P(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, verifique se 1 e –1 são raízes do polinômio.
3) Dado o polinômio P(x) = x3 + x2 – x – 2, calcule:
4) Discutir, para m ∈ C, o grau do polinômio P(x) = (2m – 6)x3 + (m + 4)x2 – x – m.
5) Determine o polinômio P(x), de grau 2, sabendo que P(0) = 8, P(1) = 12 e P(–1) = 6.
6) Dados os polinômios P(x) = x5 + x4 + x3 + x + 1 e Q(x) = x3 + x2 – 2, calcule:
7) Dividindo o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) = x3 + 4x2 – x – 2, temos o quociente Q(x) = x3 + 4x e resto R(x) = 7x – 5. Determine o polinômio P(x).
P(x) = Q(x).D(x) + R(x) = (x3 + 4x).(x3 + 4x2 – x – 2) + 7x – 5
P(x) = x6 + 4x5 – x4 – 2x3 + 4x4 + 16x3 + 28x2 – 8x + 7x – 5
P(x) = x6 + 4x5 + 3x4 + 14x3 + 28x2 –x – 5
V(x) = (x + 1).(2x + 1).(x) = (2x2 + 1x + 2x + 1).(x) = (2x2 + 3x + 1).(x)
(D) V(x) = 2x3 + 3x2 + x
10) O quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão do polinômio P(x) = 2x4 + 4x3 – 7x2 + 12 pelo polinômio D(x) = x – 1 usando o dispositivo de Briot-Ruffini são, respectivamente:
(A) Q(x) = 6x3 + 2x2 – x – 1 e R(x) = 11
(B) Q(x) = 6x3 – 2x2 – x – 1 e R(x) = 11
(C) Q(x) = x3 + x2 – x –1 e R(x) = – 11
(D) Q(x) = 2x3 + 6x2 – x – 1 e R(x) = – 11
D(x) = x – 1 = 0 ⇒ x = 1 (raiz do divisor)
(D) Q(x) = 2x3 + 6x2 – x – 1 e R(x) = – 11
E.E. Dr. Gabriel Ribeiro dos Santos
Disciplina: 00784 – Matemática
Professor Marcelo Reimberg Christe
3° Ano do Ensino Médio 2020
Período: Manhã
Turmas: 3° Ano A, 3° Ano B e 3° Ano C
Cronograma: de 02/06/2020 a 30/06/2020
CONTEÚDO: Polinômios – relações entre coeficientes e raízes de uma equação de 2° grau – revisão; extensão das relações entre coeficientes e raízes para equações de 3° e 4° graus e divisão de um polinômio por x – k; algoritmo para efetuar de maneira simples a divisão de um polinômio por x – k; redução do grau de uma equação com base no conhecimento de uma das raízes.
Situação de Aprendizagem 6 – Volume 1 – 3° Ano – Das fórmulas a análise qualitativa: relações entre coeficientes e raízes
Situação de Aprendizagem 7 – Equações e polinômios: divisão por x – k e redução do grau da equação
HABILIDADES:
Compreender o fato de que uma pergunta bem formulada traz em si os elementos constituintes de sua resposta; compreender o fato de que e possível conhecer qualidades das raízes de equação algébrica mesmo sem resolve–la, com base no conhecimento de seus coeficientes. (T1–H15–GIII)
Compreender as relações naturais entre o estudo dos polinômios e o estudo das equações algébricas; compreender a importância da articulação entre a técnica e o significado na solução de equações / problemas. (T1–H15–GIII)
PLANO DE AULA: rever e estender o estudo das relações entre coeficientes e raízes, já conhecido no caso das equações de 2° grau, para equações de grau superior a 2; explorar tal fato para resolver ou conhecer algumas das soluções de uma equação algébrica. Resolver problemas que envolvam a soma, subtração e multiplicação de polinômios. Resolver problemas que envolvam a divisão entre um polinômio e um binômio (x - k). Calcular a divisão de polinômios por meio da utilização de algoritmos. (Conteúdo para 22 aulas)
MATERIAL: Exercícios subjetivos sobre polinômios.
OBSERVAÇÂO: É necessário a impressão ou cópia das páginas seguintes.
Exercícios Propostos:
1) Dado o polinômio P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 3, calcule:
2) Dado o polinômio P(x) = x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1, verifique se 1 e –1 são raízes do polinômio.
3) Dado o polinômio P(x) = x3 + x2 – x – 2, calcule:
4) Discutir, para m ∈ C, o grau do polinômio P(x) = (m + 4)x3 + (2m – 6)x2 – x – m.
5) Determine o polinômio P(x), de grau 2, sabendo que P(0) = 8, P(1) = 5 e P(–1) = 15.
6) Dado o polinômio P(x) = 2x5 + 2x4 + 2x2 + 2x + 2 e Q(x) = x3 + x2 – 2, calcule:
7) Dividindo o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) = 5x3 + 9x2 – x – 2, temos o quociente Q(x) = 2x – 6 e resto R(x) = 2x – 8. Determine o polinômio P(x).
10) O quociente Q(x) e o resto R(X) da divisão do polinômio P(x) = x3 + 2x + 14 pelo polinômio D(x) = x + 2 usando o dispositivo de Briot-Ruffini são, respectivamente:
(A) Q(x) = x2 – 2x + 6 e R(x) = – 2
(B) Q(x) = – 2x + 6 e R(x) = – 2
(C) Q(x) = x2 – 2x e R(x) = – 1
(D) Q(x) = x2 – 2x + 6 e R(x) = 2
Justifique a resposta com os cálculos.
11) Um polinômio do 3o grau (P(x) = ax3 + bx2 + cx + d) tem como raízes os números 2, 3 e –1, isto é, P(2) = 0, P(3) = 0 e P(–1) = 0. Escreva o polinômio P(x) que têm estas raízes.
12) Determine o polinômio da soma:
P(x) = [(x + 2).(x – 3).(x – 1)] + [(x – 2).(x – 3).(x + 1)] + [(x – 2).(x + 3).(x – 1)]
13) A figura ao lado é formada por um retângulo, um quadrado e um trapézio, onde suas medidas estão em função de x. Determine a expressão do polinômio A(x) que calcula a área total ATotal da figura em função de x.
Dados: Área do retângulo Aretângulo = C.L
Área do quadrado Aquadrado = L.L
Área do trapézio Atrapézio =
Boa noite turma. Eu sei que todos nós estamos passando por uma situação complicada em todos os sentidos. Mas mesmo assim, devemos ter fé na vida e em todas as dificuldades que ela nos proporciona neste momento. Muitos de vocês, já sei, tem dificuldades e limitações em relação à Matemática. Porém, estou tentando passar o mínimo e necessário para o curso de vocês tenha uma conclusão. Tentem fazer as atividades e comunique-se comigo se houver dificuldades e também, me ajudem a passar as atividades para os colegas que vocês sabem que não tem uma comunicação fácil com equipamentos de interação digital (celular próprio, local exclusivo de estudos, e outras situações que não ajudam nos estudos), devido às limitações ao possibilidade de acesso. Por isso peço que acessem a Secretaria Escolar Digital (SED) e usem os recursos possíveis à aqueles que tem este acesso. Abaixo estão 3 códigos de acesso gratuito ao Google Classroom. Porque 3, isto eu não sei. Usem o 1° e se não der certo, usem os outros 2 códigos. Mas tentem. Eu fiz o convite em cada um deles. O 1° tem de todos os professores. Os demais somente eu kkk.Bons estudos e protejam-se. Estejam com DEUS.
ResponderExcluirA seguir, os códigos do Google Classroom.
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Boa noite e bom descanso.